O Pensamento Matemático - Parte 4

Acabou que falei sobre um monte de coisa no último post, mas não resolvi nada. Espero que quem tenha me acompanhado durante essa pequena jornada tenha percebido que fazer as coisas de modo inteligente vale a pena. E é com essa nova percepção que vamos continuar caminhando até o fim. Vamos acabar com esse problema! Somos seres inteligentes, nada pode nos dar medo, nenhum desafio é muito para nós, não existe nenhuma pedra, nenhuma montanha que seja uma barreira intransponível para nós! Nada pode nos deter!!!

No último post eu disse que se um lado da balança tem mais pérolas então ele vai ser mais pesado, não importa que arrumação de pedras eu faça, sempre vai ser assim. Essa descoberta é ótima, mas e pra que isso nos serve? Acompanha o raciocínio: se tivermos uma situação onde um lado tem mais pérolas que outro, então a pérola mais leve pode estar em qualquer lado que não faz diferença, o lado com mais pérolas vai descer mais. Isso quer dizer que nesse tipo de situação não conseguimos descobrir nada sobre onde está a pérola mais leve.

Maravilha! Eureca! Genial!!!

Se esse tipo de situação não nos ajuda em nada, o que nos sobra? Exato! O que nos sobra é analisar as situações quando os dois lados tem o mesmo número de pérolas. Quem chegou até aqui meus parabéns! Você passou por diversos vales sombrios, vilas amaldiçoadas e bestas infernais, mas você superou todos esses obstáculos e chegou até o reino da luz, onde a Verdade lhe foi dita, e onde você pôde beber do cálice da sabedoria.
Mas isso quer dizer que a jornada acabou? Claro que não! Essa foi apenas a primeira fase, foi a fase mais difícil, mas ainda tem mais...

Se o que temos que fazer é comparar quantidades iguais de pérolas, então é isso que faremos. Nossas opções são: uma pedra de cada lado, duas pedras de cada lado e três pedras de cada lado. ( quem foi que disse quatro de cada lado?! )

PS: quando eu falar de restante das pérolas, estou falando das pérolas que estão de fora, as que não estão na pesagem.

1) Uma pérola em cada lado:


Se tivermos uma pérola de mesmo peso em cada lado, a mais está leve entre as cinco restantes.



Se a pérola mais leve estiver em um dos lados, então ela está no lado mais alto, aqui o problema foi resolvido, a pérola mais leve foi achada em apenas uma pesagem.

2) Duas pérolas em cada lado:


Se tivermos duas pérolas de mesmo peso em cada lado, então a pérola mais leve está entre as três restantes.



Se a pérola mais leve está em um dos lados, então ela está no lado mais alto e é uma das duas que está nesse lado.


3) Três pérolas em cada lado:



Se tivermos três pérolas de mesmo peso em cada lado, então a pérola mais leve é a única restante, e assim o problema está resolvido com apenas uma pesagem.



Se a pérola mais leve está em um dos lados, então ela está no lado mais alto e é uma das três que está nesse lado.


Estamos quase lá, o que precisamos fazer agora é descobrir qual dessas escolhas vai nos levar ao sucesso. Vamos analisar uma por uma, de uma vez por todas. Nas análises abaixo, aconselho que enquanto você for ir lendo, volte aos desenhos acima para ter uma boa idéia do que está acontecendo.

1) Uma pérola em cada lado:

-> Se os lados não equilibrarem, já sabemos que a mais leve está no lado mais alto.
Mas e se equilibrarem? Então teremos apenas uma pesagem para cinco pérolas, e como já sabemos, temos que colocar uma quantidade igual de pérolas em cada lado. Se colocarmos uma em cada lado e equilibrarem, quer dizer que mais leve está entre as três restantes, e não temos como saber qual é. Isso quer dizer que precisamos colocar duas em cada lado, mas se não equilibrarem, quer dizer que a pérola mais leve está no lado mais alto, onde tem duas pérolas, e nesse caso não sabemos qual das duas é a mais leve. Chegamos perto, mas não foi agora.
O que eu acabei de mostrar, é que existe um modo de se chegar à um caminho incerto quando se começa colocando uma pedra de cada lado, e como procuramos uma certeza, não podemos ir por esse caminho. Conclusão: colocar uma pedra de cada lado na primeira pesagem pode não dar certo, então não vamos fazer isso.

2) Duas pérolas em cada lado:

-> Se os lados não equilibrarem, sabemos que a pérola mais leve está no lado mais alto, onde tem duas pérolas. Então na próxima pesagem colocamos essas duas, uma em cada lado, e o lado mais alto é onde está a pérola mais leve, e assim o problema foi resolvido.
Mas e se equilibrarem? Então sabemos que a pérola mais leve está entre as três restantes, e temos que descobrir qual é ela, com apenas uma pesagem. Para fazer isso escolhemos duas para pesar, colocamos uma em cada lado, se equilibrar, então a restante é a mais leve, se não equilibrar, então a pérola mais leve está no lado mais alto, de qualquer maneira conseguimos encontrar a pérola mais leve. Conclusão: colocando duas pedras em cada lado no início nos leva a descobrir com total certeza qual é a pérola mais leve.

Então o problema está resolvido, duas pedras de cada lado é o que precisamos fazer. Agora já podemos dormir em paz. ^^

.........

Hmmm? Alguém disse algo? Se você sente que tem algo faltando, então pode ser que você tenha o espírito matemático dentro de você. Muitos se satisfazem só com a solução, mas o espírito matemático não quer só a solução, ele quer examinar o problema por completo. Não vamos parar por aqui, afinal, e se colocarmos três pedras de cada lado, o que acontece?

EXTRA:

3) Três pérolas em cada lado:

-> Se os lados equilibrarem é fácil, a pérola mais leve é a restante.
Mas e se não equilibrarem? Então sabemos que a pérola mais leve está entre as três no lado mais alto. Na próxima pesagem temos exatamente o mesmo caso para duas pérolas de cada lado, a segunda pesagem, quando a primeira pesagem ficou equilibrada. Conclusão: com três pérolas de cada lado também conseguimos com total certeza resolver o problema!



Foi uma longa jornada, desde a explicação do problema, do modo como funciona o pensamento matemático, passando por uma análise minuciosa das possibilidades, das filtragens, até chegar em um ponto onde teríamos que analisar apenas três casos com um número igual de pérolas em cada lado. Mas se você me acompanhou com calma, refletindo, se esforçando, sei que você conseguiu ir até o fim da jornada, e no fim desta jornada, aprendemos um pouco sobre como nossas mentes fazem coisas incríveis, e como nós mesmos conseguimos fazer coisas incríveis quando estamos dispostos.

Esse problema que passei aqui pode ser resolvido por muitas pessoas em alguns segundos, e muitas pessoas que o resolvem nesse tempo não fazem nem idéia de quanta coisa sua mente faz no processo de resolvê-lo, mas agora nós sabemos.
Acredito que sabendo um pouco sobre cada obstáculo que estamos superando, valorizamos o ato de pensar, o ato de raciocinar. Valorizamos um dos maiores dons que Deus nos deu: a inteligência.

O Pensamento Matemático - Parte 3

Agora temos apenas 33 casos para analisar na primeira pesagem, e isso pode ser feito "na força bruta", quero dizer, a pessoa pode fazer um caso de cada vez e ir vendo quais deles são bons e quais não são. A força bruta de fato é usada muitas vezes para resolver diversos problemas na matemática, e não apenas na matemática, mas em diversas áreas. Mas a força bruta está longe de ser um modo inteligente de resolver as coisas, isso porque ela resolve as coisas do modo mais lento possível e porque não se exige muito raciocínio elaborado para usá-la. Quando nós usamos a inteligência, nós somos capazes de entender e descobrir atalhos para a solução de algum problema, foi usando a inteligência que chegamos a 33 casos para analisar quando originalmente se tem 5040 casos, imagine fazer os 5040 casos um por um, isso seria usar a força bruta, pouca inteligência e muito esforço.

Então a partir de agora vamos fazer um pacto, vamos sempre procurar resolver as coisas do modo mais inteligente que pudermos, se você fizer isso, já está dando um passo importante na sua vida, seja como matemático ou não.

De qualquer maneira, como vamos resolver esse problema com a inteligência? O que podemos fazer agora? Aquelas filtragens que eu disse antes eram bem legais, mas elas não filtraram tudo, e agora parece que está bem difícil ver algo para ser filtrado, mas de fato ainda existe mais uma coisa. Essa última filtragem que é a filtragem mágica, ela é que traz à tona o que é um pensamento inteligente, um pensamento elegante. Acredite, existe beleza nos pensamentos, não é só em música, pintura, etc. Na verdade, pois mais que seja difícil de acreditar, existe criatividade em matemática, e ela de fato pode ser vista como um tipo de arte.

Para começar, dê uma olhada no desenho abaixo:

Nesse desenho eu comparei a pesagem de 4 pérolas com todas as que estão abaixo de 4. E aqui deu pra constatar que o lado onde tem 4 pérolas sempre é mais pesado. Se eu tivesse comparado um lado com 3 pérolas e o outro com menos de 3, também ia dar que o lado de 3 sempre estaria mais pesado. Já deu pra ver aonde quero chegar?
Eu não vou fazer todos os casos, mas o que quero mostrar é que se você colocar mais pedras de um lado, esse lado vai ser mais pesado, não importa se a pedra mais leve está ali ou não. Parece óbvio demais? Pode ser que sim, agora que foi dito. Mas antes de ser dito, não era óbvio, e a questão toda é essa: conseguir enxergar esse tipo de coisa óbvia. Se pra alguém ainda não está claro, vou explicar o porquê.

Se no lado direito temos n+1 pérolas, no lado esquerdo temos no máximo n pérolas ( tem que ser assim porque o lado direito tem que ter mais pérolas que o esquerdo ). Eu disse antes que o lado que tem mais pérolas sempre é mais pesado que o outro lado, então vou forçar um pouco a barra e colocar a pérola mais leve do lado direito pra ver se consigo fazer o esquerdo passar. Um desenho disso seria algo assim:



Acontece que as n pérolas de cada lado se igualam, e no lado direito entra a mais leve, e acaba que ele fica um pouco mais pesado. Como eu fiz o máximo possível pro esquerdo passar o direito e não consegui, é porque não tem como mesmo, sempre que um lado tiver mais pedras ele vai ficar mais pesado que o outro.

Às vezes muitas coisas óbvias passam sem ninguém percebê-las, até matemáticos podem deixar coisas simples passar sem percebê-las. O segredo para você conseguir perceber melhor essas coisas é simples: prática, prática e prática. Coloque a cabeça pra funcionar, procure resolver qualquer problema da sua vida de modo inteligente, procure resolver enigmas, sudoku, palavras cruzadas, enfim, pratique atividades mentais diversas. E se você quer ficar bom em alguma área em particular, pratique bastante coisas ligadas à essa área. Não existem barreiras intransponíveis, não existe inferioridade mental, nem ninguém está destinado a ser burro. Quem quer ficar bom em alguma coisa, tem que acreditar que pode, e correr atrás.

Nossa! Mas isso não é uma coisa tão óbvia? Acho que não estou falando nenhum segredo aqui, todo mundo sabe que quem quer algo tem que acreditar e correr atrás. Então, se alguém acha que é incapaz, pode ir parando por aí, porque não é. Afinal, se você fosse incapaz, teu cérebro não ia reduzir 5040 possibilidades pra 33. A verdade é que todos nós temos um instinto matemático, nós nascemos com isso, e quem quiser pode desenvolver, em outras palavras, não é questão de poder ou não, é questão de querer ou não.

O Pensamento Matemático - Parte 2

Eu poderia mostrar a solução do problema das 7 pérolas dita no tópico anterior e isso bastaria para muita gente. Mas qual o sentido em saber a solução e não aprender mais nada com isso? É muito importante a gente aprender algo com qualquer problema que apareça na nossa vida, seja ele algo real ou não.
Bom, quando eu te pergunto sobre descobrir a pérola mais leve dentre as 7, o que você pensa?
Já vi algumas pessoas que de início falam que não dá, aí eu pergunto o porquê, e quando elas tentam me explicar elas começam a enxergar a solução, ou pelo menos o caminho para ela. Isso acontece porque elas se travaram apenas em algumas aparências básicas, ainda não se aprofundaram de verdade no problema, mas quando requisitadas a verbalizar sobre o que pensaram, elas precisam formular algo, e esse processo de formular exige que se entenda mais o problema, afim de falar algo que faça sentido. E é nessa procura de algo que faça sentido que nós nos aprofundamos de verdade no problema. Essa barreira é algo puramente psicológico, não se trata de lerdeza de raciocínio, falta de percepção, falta de estudo, etc. Por isso aqui vai um conselho, não se prenda às aparências iniciais de um problema, porque a aparência não reflete a verdade dele. Depois de passar por essa barreira psicológica, se concentre para entrar no problema e permaneça focado nele, se aprofundando cada vez mais. Não se imponha limites, use toda a sua capacidade mental.
Agora vem a parte principal, que é o problema em si.

O que normalmente se faz é pensar é na balança com algumas pérolas de um lado e outras do outro lado, e aí vemos o que acontece. Para cada resultado falho nós tiramos alguma conclusão, e se o resultado for um sucesso nós resolvemos o problema. O mais interessante aqui para uma análise do problema são os resultados falhos, pois cada um traz uma conclusão, e é através das conclusões que nós compreendemos o problema e conseguimos entender a solução. A solução não será apenas obra do acaso, e sim uma conquista do intelecto humano, pois foi através de nossas mentes que pudemos observar os fracassos e traçar o caminho para o sucesso.

Vou fazer um método para analisar esse problema, vou analisar as situações quando temos 2 pérolas, depois quando temos 3 pérolas, e vou aumentando de um em um até chegar a 7 pérolas. Também vou mostrar desenhos onde as pérolas brancas representam as 6 de mesmo peso, e a preta é a mais leve. Em todos os casos começarei pela situação onde não há a pérola mais leve, e depois ela irá aparecendo da direita para a esquerda. Desse modo todas as possibilidades serão analisadas.

PS¹: é óbvio que apenas 1 pérola não serve para análise porque eu preciso de pelo menos 2 para existir alguma comparação.
PS²: essas minhas análises serão em relação à primeira pesagem. A segunda vem mais tarde.


2 pérolas:

a) qualquer uma das outras 5 pode ser a mais leve.
b) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.
c) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.

3 pérolas:

Em todas as situações o lado que tem 2 pérolas é mais pesado lado que o que tem 1 pérola.

4 pérolas:

a) qualquer umas das outras 3 pode ser a mais leve.
b) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.
c) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.
d) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.
e) o lado que está mais alto é onde está a pérola mais leve.
No restante o lado que tem 3 pérolas é sempre mais pesado que o que tem 1 pérola.

5 pérolas:

Nas comparações onde há 2 pérolas de um lado e 3 do outro resulta que o lado com 3 pérolas sempre é mais pesado.
Nas comparações onde há 1 pérola de um lado e 4 do outro resulta que o lado com 4 pérolas sempre é mais pesado.

6 pérolas:

a) o pérola mais leve é a que não está na balança.
Nas comparações com 3 pérolas de cada lado, o lado mais alto é onde está a pérola mais leve.
Nas comparações com 2 pérolas de um lado e 4 pérolas do outro lado resulta que o lado com 4 pérolas é sempre mais pesado.
Nas comparações com 1 pérola de um lado e 5 pérolas do outro lado resulta que o lado com 5 pérolas é sempre o mais pesado.

7 pérolas:

Nas comparações com 3 pérola de um lado e 4 pérolas do outro lado resulta que o lado com 4 pérolas é sempre o mais pesado.
Nas comparações com 2 pérola de um lado e 5 pérolas do outro lado resulta que o lado com 5 pérolas é sempre o mais pesado.
Nas comparações com 1 pérola de um lado e 6 pérolas do outro lado resulta que o lado com 6 pérolas é sempre o mais pesado.

Análise:

Podemos elaborar uma tabela para ver o total de possibilidades ( que chamarei de T ) para cada quantidade ( que chamarei de n ) de pérolas:

n = 2 ; T = 3
n= 3 ; T = 4
n = 4; T = 10
n = 5; T = 12
n = 6; T = 21
n = 7; T = 24

Sendo assim, o total de possibilidades são 74. Existem modos de reduzir drasticamente o número de possibilidades, estou falando de filtragens mentais, que é uma coisa que todo mundo faz sem perceber em muitas situações. Vou falar um pouco de duas que já foram feitas:

1ª filtragem: Não há diferença entre pérolas quando se trata das 6 que tem mesmo peso, isto é, eu posso ter o seguinte:

e...

São duas pesagens diferentes, onde primeiro eu usei 3 de mesmo peso com a mais leve e logo depois eu peguei as outras 3 de mesmo peso e troquei de lugar com as 3 anteriores. As pedras brancas não são as mesmas mas a situação é igual, então é lógico que o resultado será igual, esse é um tipo de pesagem que é redundante. Eu poderia fazer várias combinações com o mesmo resultado das duas combinações acima, mas como eu sei que elas são iguais de peso, posso considerar apenas um caso para representar a si mesmo e a todos os outros semelhantes, e assim é feita uma filtragem lógica de muitas possibilidades redundantes.

2ª filtragem: Em algum caso qualquer com n pérolas, não precisa haver repetição de combinação quanto aos lados, isto é, eu posso ter o seguinte:

A mais leve na direita e 2 outras na esquerda ou a mais leve na esquerda e as 2 outras na direita.

Sem levar em consideração a troca de lados, estamos analisando a mesma situação, e a consequência é sempre a mesma independente de trocar o lado ou não, assim é feita então mais uma filtragem lógica de muitas combinações redundantes.

Pode se dizer que quando nós nos confrontamos com esse problema, estamos tentando escolher o caminho do sucesso entre tantas possibilidades de escolhas, e nesse processo o cérebro humano faz milagres que nem percebemos.

No nosso caso das pérolas eu fiz algumas filtragens óbvias que reduziram a quantidade de possibilidades de 5040 para 74 apenas!
Ainda faltou mostrar uma grande filtragem que também é uma das óbvias, mas não tanto quanto as duas anteriores, essa terceira filtragem eu não fiz ainda.

Olhe para as três situações abaixo que foram consideradas:

Pode se ver claramente que o peso no lado direito vai ser o mesmo independente da ordem em que as pérolas estão colocadas.

Dito isso, podemos elaborar um novo esquema onde todas nossas três filtragens são feitas:

2 pérolas:

3 pérolas:

4 pérolas:

5 pérolas:



6 pérolas:



7 pérolas:

E agora o total de possibilidades é 33. Ótima redução! E o mais legal é que todas essas reduções são feitas em segundos nas nossas mentes, e às vezes sem a gente perceber, de tão natural que é!
É depois de algumas filtragens na mente que algumas pessoas fazem palpites para tirar conclusões e com isso trilhar o seu caminho. É um modo muito válido, mas eu me pergunto, é necessário mesmo dar palpites? Não existe um modo que nos leve direto para o caminho do sucesso sem ter que trilhar por caminhos falhos antes? Dependendo do problema, pode existir ou não. O melhor a se fazer é deixar a possibilidade de trilhar caminhos duvidosos para o final, primeiro reflita bastante sobre o problema, tente conhecê-lo, compreender todos os seus detalhes, penetrar no fundo da sua alma. Te garanto que este caminho é muito mais gratificante e que te levará a lugares da sua mente que você nem conhecia.